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九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第3章《對(duì)圓的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)》3.7 正多邊形與圓（第一課時(shí)）
第三章《對(duì)圓的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)》
3.7 正多邊形與圓
第一課時(shí)
你還記得什么叫正多邊形嗎？說(shuō)出你常見(jiàn)的幾種正多邊形.
觀察與思考
觀察圖3-58中的正多邊形，思考下面的問(wèn)題：
（1）它們都是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，分別畫(huà)出每個(gè)圖形所有的對(duì)稱軸.
并說(shuō)出這些對(duì)稱軸是怎樣的直線.
（2）正三角形有幾條對(duì)稱軸？正四邊形、正五邊形、正六邊形呢？由此你能猜測(cè)正n邊形有幾條對(duì)稱軸嗎？
（3）通過(guò)畫(huà)圖，你發(fā)現(xiàn)正多邊形的各條對(duì)稱軸有怎樣的特征？由此你能推出正多邊形的什么性質(zhì)？
（4）利用尺規(guī)作出一個(gè)正三角形的外接圓和內(nèi)切圓，你發(fā)現(xiàn)正三角形的外接圓的圓心與內(nèi)切圓的圓心有什么特征？
（5）畫(huà)出一個(gè)正方形，你能說(shuō)出它的外接圓和內(nèi)切圓的位置嗎？你發(fā)現(xiàn)正方形的外接圓與內(nèi)切圓有什么特征？
（6）由（4）（5）你猜測(cè)正多邊形都有外接圓和內(nèi)切圓嗎？如果有，它們的外接圓與內(nèi)切圓有什么特征（圖3-59）？
正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形有n條對(duì)稱軸.
正多邊形的各條對(duì)稱軸相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到正多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，到各邊的距離也相等.
任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓，圓心是各對(duì)稱軸的交點(diǎn).
如圖3-60，正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的公共圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)
切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距（apothem）.
可以看出，正多邊形各邊所對(duì)的外接圓的圓心角都相等.正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中
心角，正n邊形的每個(gè)中心角都等于360°/n.
你能分別說(shuō)出3-60中正方形與正六邊形的中心、半徑、邊心距和中心角的度數(shù)嗎？
（7）正n變形的n條半徑把正n變形分成了幾個(gè)怎樣的圖形？相應(yīng)的邊心距把其中每一個(gè)圖形又分成了兩個(gè)怎樣的圖形？
（8）如果正三角形的邊長(zhǎng)為a，那么它的外接圓的半徑r和內(nèi)切圓的半徑d分別是多少？
例1
一個(gè)正六邊形花壇的半徑為R，求花壇的邊長(zhǎng)a，周長(zhǎng)p和面積S.
解
如圖3-61，ABCDEF為正六邊形.連接OA,OB,作OG⊥AB,垂足為點(diǎn)G,則OA=OB=R AB=a.
在等腰三角形AOB中，
∵∠GOB=1/2∠AOB=1/2×360°/6=30°，
∴a=2GB=2Rsin30°=R.
∴p=6R.
∵OG=Rcos30°=
,
,∴S=6S△AOB=6×1/2R×=
R2.
=R2.練習(xí)
1.下面的命題是真命題嗎？如果不是，請(qǐng)舉出一個(gè)反例.
（1）正多邊形的對(duì)稱軸是經(jīng)過(guò)正多邊形的頂點(diǎn)和中心的直線；
（2）邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形；
（3）既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的多邊形是正多邊形；
（4）有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓的多邊形是正多邊形.
2.完成下表中正多邊形的計(jì)算，并把計(jì)算結(jié)果填入表內(nèi)：
