課程內(nèi)容:
《用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(2)》
復(fù)習(xí)回顧:
(1)如何通過頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)字特征(中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù))?
估計(jì)眾數(shù):頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點(diǎn)數(shù)字。(最高矩形的中點(diǎn))
估計(jì)中位數(shù):中位數(shù)把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等。
估計(jì)平均數(shù):頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。
例題:有甲、乙兩種鋼筋,現(xiàn)從中各抽取一個(gè)樣本(如下表)檢查它們的抗拉強(qiáng)度(單位:kg/mm2),通過計(jì)算發(fā)現(xiàn),兩個(gè)樣本的平均數(shù)均為125。
甲:110 120 130 125 120 125 135 125 135 125
乙:115 100 125 130 115 125 125 145 125 145
哪種鋼筋的質(zhì)量較好?
由上圖可以看出,乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值110,乙樣本的最大值145高于甲樣本的最大值135,這說明乙種鋼筋沒有甲種鋼筋的抗拉強(qiáng)度穩(wěn)定。
通過比較可以看出,乙的極差較大,數(shù)據(jù)點(diǎn)較分散,甲的極差小,數(shù)據(jù)點(diǎn)較集中,這說明甲比乙穩(wěn)定。運(yùn)用極差對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,操作簡單方便,但如果兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時(shí),就不容易得出結(jié)論。
例題:甲、乙兩名射擊手的測試成績統(tǒng)計(jì)如下:
甲命中環(huán)數(shù):7 8 8 8 9
乙命中環(huán)數(shù):10 6 10 6 8
(1)請分別計(jì)算兩名射手的平均成績;
(2)請根據(jù)這兩名射擊手的乘積在下圖中畫出折線統(tǒng)計(jì)圖;
(3)現(xiàn)要挑選一名射擊手參加比賽,若你是教練,你認(rèn)為挑選哪一位比較適宜?為什么?
思考:能用上面的方法比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況嗎?
如果將每次的差都平方再求和,能解決上面的問題嗎?
標(biāo)準(zhǔn)差:通常改用如下公式來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差:
意義:標(biāo)準(zhǔn)差用來表示穩(wěn)定性。
標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的離散程度就越大,也就越不穩(wěn)定。
標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度就越小,也就越穩(wěn)定。
從標(biāo)準(zhǔn)差的定義可以看出,標(biāo)準(zhǔn)差s≥0,當(dāng)s=0時(shí),意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù)。
方差:從數(shù)學(xué)的角度考慮,人們有時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2——方差來代替標(biāo)準(zhǔn)差,作為測量樣本數(shù)據(jù)離散程度的工具:
計(jì)算公式:
一般步驟:求平均→再求差→然后平方→最后再平均
例題:為了考察甲、乙兩種小麥的長勢,分別從中抽出10株苗,測得苗高如下(單位:cm):
甲:12 13 14 15 10 16 13 11 16 11
乙:11 16 17 14 13 19 6 8 10 16
問哪種小麥長得比較整齊?