課程內(nèi)容

《多邊形的內(nèi)角和與外角和》
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、了解多邊形及多邊形的相關(guān)概念；
2、掌握多邊形內(nèi)角和公式的三種探索方法，自己能通過內(nèi)角和推出外角和；
3、識記多邊形內(nèi)角和公式與外角和；
4、通過多邊形內(nèi)角和公式的多種推導(dǎo)方法發(fā)展自己的發(fā)散思維能力，并掌握一種數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化思想。
試一試
三角形有三個內(nèi)角、三條邊，我們也可以把三角形稱為三邊形（但我們習(xí)慣稱為三角形）。
你能說出三角形的定義嗎？
三角形是由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形。
既然我們已經(jīng)知道什么叫三角形，你能根據(jù)三角形的定義，說出什么叫四邊形嗎？
四邊形是由四條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形，記為四邊形ABCD。
那么多邊形的定義呢？
一般地，由n條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形稱為n邊形，又稱為多邊形。
注意：我們現(xiàn)在研究的是凸多邊形。
既然三角形有三個內(nèi)角、三條邊，六個外角，那么四邊形有幾個內(nèi)角？幾條邊？幾個外角呢？
多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角。
那么五邊形有幾個內(nèi)角？幾條邊？幾個外角呢？
    五邊形有5個內(nèi)角，5條邊，10個外角
那么六邊形有幾個內(nèi)角？幾條邊？幾個外角呢？
    六邊形有6個內(nèi)角，6條邊，12個外角
那么n邊形有幾個內(nèi)角？幾條邊？幾個外角呢？
    n邊形有n個內(nèi)角，n條邊，2n個外角
連結(jié)多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。
探索內(nèi)角和
我們已經(jīng)知道一個三角形的內(nèi)角和等于180°，那么四邊形的內(nèi)角和等于多少呢？五邊形、六邊形呢？由此，n邊形的內(nèi)角和等于多少呢？
那么我們能不能利用三角形的內(nèi)角和，來求出四邊形的內(nèi)角和，以及五邊形、六邊形、n邊形的內(nèi)角和？
探索新知
請你認(rèn)真地想一想，你能通過怎樣的方法把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形？
1、從一個頂點出發(fā)
2、從邊上的一個點出發(fā)
3、從多邊形內(nèi)一個點出發(fā)
由此，我們就可以得出：
    n邊形的內(nèi)角和為(n-2)180°
（1）知道多邊形的邊數(shù)，可以求出多邊形的度數(shù)。
（2）知道多邊形的度數(shù)，可以求出多邊形的邊數(shù)。
例1、求八邊形的內(nèi)角和的度數(shù)。
分析：n邊形的內(nèi)角和公式為(n-2)180°，現(xiàn)在知道這個多邊形的邊數(shù)是8，代入這個公式即可求出。
解：  (n-2)180°
     =(8-2)180°
     =1080°
例2、已知多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為900°，則這個多邊形的邊數(shù)為___________。
例3、已知在一個十邊形中，九個內(nèi)角的和的度數(shù)是1290°，求這個十邊形的另一個內(nèi)角的度數(shù)。
那么對于正多邊形來說，又遇到怎樣的問題呢？
因為正多邊形的每個角相等，所以知道正多邊形的邊數(shù)，就可以求出每一個內(nèi)角的度數(shù)。
例4、正五邊形的每一個內(nèi)角等于_______，外角等于_______。
例5、如果一個正多邊形的一個內(nèi)角等于120°，則這個多邊形的邊數(shù)是_______。
例6、五邊形中，前四個角的比是1:2:3:4，第五個角比最小角多100°，則這個五邊形的內(nèi)角分別為____________。
前面我們學(xué)習(xí)了三角形的外角和是360°，當(dāng)時是怎樣研究出來的？
（1）先把三角形的三個外角和三個內(nèi)角這六個角的和求出來，剛好是三個平角。
（2）再用這六個角的和減去三個內(nèi)角的和，剩下的就是三角形的外角和了。
那么你能研究出四邊形的外角和嗎？
整體思路：（1）先求4個外角+4個內(nèi)角的和；（2）再減去4個內(nèi)角的和。
容易看出，4個外角+4個內(nèi)角=4個平角
    而4個內(nèi)角的和是360°，
那么四邊形的外角和就是4×180°-360°=360°
那么能求出五邊形、六邊形、n邊形的外角和嗎？
   n邊形的外角和就是n×180°-(n-2)×180°=360°
任意多邊形的外角和都為360°。
練習(xí)
1、正五邊形的每一個外角等于______，每一個內(nèi)角等于______。
2、如果一個正多邊形的一個內(nèi)角等于120°，則這個多邊形的邊數(shù)是______。
3、如果一個正多邊形的一個內(nèi)角等于150°，則這個多邊形的邊數(shù)是______
   A、12     B、9     C、8     D、7
4、如果一個多邊形的每一個外角等于30°，則這個多邊形的邊數(shù)是______