課程內容

《多邊形的內角和與外角和》
學習目標
1、了解多邊形及多邊形的相關概念；
2、掌握多邊形內角和公式的三種探索方法，自己能通過內角和推出外角和；
3、識記多邊形內角和公式與外角和；
4、通過多邊形內角和公式的多種推導方法發(fā)展自己的發(fā)散思維能力，并掌握一種數學思想——轉化思想。
試一試
三角形有三個內角、三條邊，我們也可以把三角形稱為三邊形（但我們習慣稱為三角形）。
你能說出三角形的定義嗎？
三角形是由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結組成的平面圖形。
既然我們已經知道什么叫三角形，你能根據三角形的定義，說出什么叫四邊形嗎？
四邊形是由四條不在同一直線上的線段首尾順次連結組成的平面圖形，記為四邊形ABCD。
那么多邊形的定義呢？
一般地，由n條不在同一直線上的線段首尾順次連結組成的平面圖形稱為n邊形，又稱為多邊形。
注意：我們現在研究的是凸多邊形。
既然三角形有三個內角、三條邊，六個外角，那么四邊形有幾個內角？幾條邊？幾個外角呢？
多邊形內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角。
那么五邊形有幾個內角？幾條邊？幾個外角呢？
    五邊形有5個內角，5條邊，10個外角
那么六邊形有幾個內角？幾條邊？幾個外角呢？
    六邊形有6個內角，6條邊，12個外角
那么n邊形有幾個內角？幾條邊？幾個外角呢？
    n邊形有n個內角，n條邊，2n個外角
連結多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。
探索內角和
我們已經知道一個三角形的內角和等于180°，那么四邊形的內角和等于多少呢？五邊形、六邊形呢？由此，n邊形的內角和等于多少呢？
那么我們能不能利用三角形的內角和，來求出四邊形的內角和，以及五邊形、六邊形、n邊形的內角和？
探索新知
請你認真地想一想，你能通過怎樣的方法把多邊形轉化為三角形？
1、從一個頂點出發(fā)
2、從邊上的一個點出發(fā)
3、從多邊形內一個點出發(fā)
由此，我們就可以得出：
    n邊形的內角和為(n-2)180°
（1）知道多邊形的邊數，可以求出多邊形的度數。
（2）知道多邊形的度數，可以求出多邊形的邊數。
例1、求八邊形的內角和的度數。
分析：n邊形的內角和公式為(n-2)180°，現在知道這個多邊形的邊數是8，代入這個公式即可求出。
解：  (n-2)180°
     =(8-2)180°
     =1080°
例2、已知多邊形的內角和的度數為900°，則這個多邊形的邊數為___________。
例3、已知在一個十邊形中，九個內角的和的度數是1290°，求這個十邊形的另一個內角的度數。
那么對于正多邊形來說，又遇到怎樣的問題呢？
因為正多邊形的每個角相等，所以知道正多邊形的邊數，就可以求出每一個內角的度數。
例4、正五邊形的每一個內角等于_______，外角等于_______。
例5、如果一個正多邊形的一個內角等于120°，則這個多邊形的邊數是_______。
例6、五邊形中，前四個角的比是1:2:3:4，第五個角比最小角多100°，則這個五邊形的內角分別為____________。
前面我們學習了三角形的外角和是360°，當時是怎樣研究出來的？
（1）先把三角形的三個外角和三個內角這六個角的和求出來，剛好是三個平角。
（2）再用這六個角的和減去三個內角的和，剩下的就是三角形的外角和了。
那么你能研究出四邊形的外角和嗎？
整體思路：（1）先求4個外角+4個內角的和；（2）再減去4個內角的和。
容易看出，4個外角+4個內角=4個平角
    而4個內角的和是360°，
那么四邊形的外角和就是4×180°-360°=360°
那么能求出五邊形、六邊形、n邊形的外角和嗎？
   n邊形的外角和就是n×180°-(n-2)×180°=360°
任意多邊形的外角和都為360°。
練習
1、正五邊形的每一個外角等于______，每一個內角等于______。
2、如果一個正多邊形的一個內角等于120°，則這個多邊形的邊數是______。
3、如果一個正多邊形的一個內角等于150°，則這個多邊形的邊數是______
   A、12     B、9     C、8     D、7
4、如果一個多邊形的每一個外角等于30°，則這個多邊形的邊數是______