《基本初等函數及函數的應用（一）》

真題熱身

1.   設a＞0 a≠1，則“函數f（x）=a2在R上是減函數”，是“函數g（x）=（2-a）x3在R上是增函數”的（A）

A  充分不必要條件    B 必要不充分條件    C 充分必要條件   D 既不充分也不必要條件

2.  已知函數f（x）=e^|x-a| （a為常數），若f（x）在區(qū)間[1,+∞﹚上是增函數，則a的取值范圍是（-∞，1]        

   【解析】根據函數f（x）=e^|x-a|=e^x-a，，x≥a   e^-x+a，x＜a看出當x≥a時，函數增函數，而已知函數f（x）在區(qū)間[1,+∞﹚上是增函數，所以a的取值范圍是（-∞，1]

    本題主要考查指數函數單調性，復合函數的單調性的判斷，分類討論在求解數學問題中的運用。

3   函數f（x）=㏒₅（2x+1）的單調增區(qū)間是（-，+∞）

4   已知函數y=f（x）的周期為2，當x∈[-1,1]時，f（x）=x2，那么函數y=f（x）的圖像與函數y=|㏒x|的圖像的交點共有（10 ）

【解析】如圖，作出圖像可知y=f（x）與y=|㏒x|的圖像共有10個交點

  考點整合

1.   二次函數

2. （1）求二次函數在某段區(qū)間上的最值時，要利用好數形結合，特別是含參數的兩種類型：“定軸動區(qū)間，定區(qū)間動軸”的問題，抓住“三點一軸”，三點指的是區(qū)間兩個和區(qū)間重點，一軸指的是對稱軸

（2）注意三個“二次”的相互轉化解題

（3）二次方程實根分布問題，抓住四點：“開口方向、判斷式⊿、對稱軸位置、區(qū)間端點函數值正負?！?/span>

  3. 函數與方程

（1）函數的零點

 對于函數f（x），我們把使f（x）=0的實數x叫做函數f（x）的零點。

（2）零點存在性定理

 如果函數y=f（x）在區(qū)間[a,b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f（a）*f（b）＜0，那么函數y=f（x）在區(qū)間（a,b）內有零點，即存在c∈（a，b）使得f（c）=0

  注意以下兩點：

① 滿足條件的零點可能不唯一

② 不滿足條件時，也可能有零點

3. 函數思想的應

(1)   方程根的分布或根的個數，轉化為相應函數零點的分布或個數，對于一元二次方程實根分布的解決思路及方法是：

設二次方程對應的二次函數，然后利用其圖形（注意開口的確定）的特征，對判別式、給定區(qū)間邊界的函數值、對稱軸與該區(qū)間的關系作全面分析，列出不等式關系，從而解問題。

（2）不等式恒成立問題：a＞f（x）恒成立=>a>[f(x)]_max;

區(qū)別：a＞f（x）有解=> a>[f(x)]_max

a=f（x）有解=>a∈f（x）的值域

（3）變換主元法：這是函數思想的一個直接應用

（4）證明不等式

要證f（x）＞g（x），只需證f（x）-g（x）＞0，即證新函數v（x）= f（x）-g（x）的最小值大于0，轉化為求函數的最值問題，而這是導數的基本題型

（5）有些比較幾個代數式或大小的題目，需要構造對應的函數，利用函數圖象或函數的單調性進行比較。

分類突破

一、二次函數的圖象與性質

例 1 已知函數f（x）=ax2-|x|+2a-1（a為實常數）

（1）若a=1，作出函數f（x）的圖象；

（2）設f（x）在區(qū)間[1,2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達式

（3）設h（x）= ，若函數h（X）在區(qū)間[1,2]上是增函數，求實數a的取值范圍。

解 （1）當a=1時，f（x）=x2-|x|+1=x2+x+1，x＜0；x2-x+1，x≥0.作圖（如下圖所示）

（2）當x∈[1,2]時，f（x）=ax2-x+2a-1

若當a=0，則f（x）=-x-1在區(qū)間[1,2]上是減函數

g（a）=f（2）=-3

若a≠1，則f（x）=a（x-）2+2a--1

f（x）圖象的對稱軸是直線x=

當a＜0時，f（x）在區(qū)間[1,2]上是減函數，g（a）=f（2）=6a-3

當0＜＜1，即a＞時，f（x）在區(qū)間[1,2]上是增函數

g(a)=f(1)=3a-2

當1≤≤2，即≤a≤時，g（a）=f（）=2a--1

當＞2，即0＜a＜時，f（x）在f（x）在區(qū)間[1,2]上是減函數

g（a）=f（2）=6a-3

綜上可得g（a）=6a-3，a＜；2a--1，≤a≤；3a-2，a＞

（3）求導。[-,1]

歸納拓展

本題是一道函數的綜合問題，涉及函數的圖象，函數的最值，恒成立問題，第（2）問中不要忘記對a=0的討論，同時對于二次函數的含參的最值問題；定區(qū)間動軸、動區(qū)間定軸，東區(qū)間動軸動開口等各類問題的研究方法注意總結，導數是研究函數單調性的常用方法。

變式訓練1 設函數f（x）=x2+|2x-a|（x∈R，a為實數）

（1）若f（x）為偶函數，求實數a的值；

（2）設a＞2，求函數f（x）的最小值

解 （1）由已知f（-x）=f（x），

即|2x-a|=|2x+a|，解的a=0

（2）f（x）=x2+2x-a，x≥a；x2-2x+a，x＜a

當x≥a時，f（x）=x2+2x-a=（x+1）2-（a+1）

由a＞2，x≥a，得x＞1，從而x＞-1，故f（x）在x≥a時單調遞增，f（x）的最小值為f（）=

當x＜a時，f（x）= x2-2x+a=（x-1）2+（a-1）

故當1≤x≤a時，f（X）單調遞增，當x＜1時，f（x）單調遞減

則f（X）的最小值為f（1）=a-1

由-（a-1）=（a-2）2＞0，知f（X）的最小值為a-1.