課程內(nèi)容
《用二分法求方程的近似解》
學生活動:
問題1:能否求解以下幾個方程
(1)x2-2x-1=0
(2)2x=4-x
(3)x3+3x-1=0
(4)lgx=3-x
指出:用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解,但此法不能運用于解另外的方程。
問題2:不解方程,如何求方程x2-2x-1=0的一個正的近似解(精確到0.1)?
畫出y=x2-2x-1的圖象。
可得:方程x2-2x-1=0一個根x1在區(qū)間(2,3)內(nèi),另一個根x2在區(qū)間(-1,0)內(nèi)。
由此可知:借助函數(shù)f(x)=x2-2x-1的圖象及其單調(diào)性,我們發(fā)現(xiàn)f(2)=-1<0,f(3)=2>0,這表明此函數(shù)圖象在區(qū)間(2,3)上穿過x軸一次,可得出方程在區(qū)間(2,3)上有唯一解。
問題3:能否描述二分法?
對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷,且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩端點逐步逼近零點,進而得到零點(或?qū)匠痰母┙平獾姆椒ń凶龆址ā?br>
問題4:二分法實質(zhì)是什么?
用二分法求方程的近似解,實質(zhì)上就是通過“取中點”的方法,運用“逼近思想逐步縮小零點所在的區(qū)間”。
例1:借助電子計算器或計算機用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精確到0.1)。
探究:
為什么由|a-b|<ε,便可判斷零點的近似值為a(或b)?
總結(jié):
1、利用(1)圖像法;(2)函數(shù)狀態(tài)法,尋找確定近似解所在的區(qū)間[a,b],驗證f(a)·f(b)<0;
2、不斷二分解所在的區(qū)間,即取區(qū)間(a,b)的中點x1=(a+b)/2
3、計算f(x1):
①若f(x1)=0,則x0=x1
②若f(a)·f(x1)<0,則令b=x1(此時x0∈(a,x1))
③若f(b)·f(x1)<0,則令a=x1(此時x0∈(x1,b))
4、判斷是否達到給定的精確度,若達到,則得出近似解;若未達到,則重復步驟2-4。
練習:
下列函數(shù)的圖像與x軸均有交點,其中不能用二分法求其零點的是( )
課堂小結(jié)
1、明確二分法是一種求一元方程近似解的常用方法。
2、二分法求方程的近似解的步驟,以及計算機(器)的使用,讓我們感受到程序化的方法即算法的價值。
3、嘗試對二分法進行編程,通過計算機來求方程的近似解。
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關老師
男,中教高級職稱
他對新教材、新教法有深入研究和獨特見解,教學細致嚴謹,重視數(shù)學思維訓練和學習方法指導。